[선형대수학] 3.정사영(Projection)과 내적(Inner Product)

<목차>

1. 정사영(Projection)

2. 내적(Inner Product)

3. 단위벡터(Unit Vector)

4. 사영벡터(Projection Vector)

1.정사영(Projection)

한자뜻을 풀이하자면,

정(正 바를 정) 사(射 쏠 사) 영(影 그림자 영)

= 곧게 쏜 그림자

= 평면과 수직인 빛을 쏘았을 때 생기는 그림자 모양

= 어떤 평면 α 위에 있지 않은 점 A에 대해,

   점 A에서 평면 α 위로 내린 수선의 발을 점 A의 평면 α 로의 정사영이라고 한다.

 

벡터의 정사영도 이와 비슷하다.

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2.내적(Inner Product)

쉽게 말하자면, 두 벡터(vector)가 닮은 정도를 나타낸다.

한 벡터가 다른 벡터 방향으로의 성분을 얼마나 가지고 있는지를

두 벡터를 "내적"함으로써 알 수 있다.

 

한자뜻을 풀이하자면,

내(內안 내) 적(積쌓을 적 = 곱한다) = 벡터를 마치 수처럼 곱하는 개념

 

벡터에는 방향이 있으므로, 방향이 일치하는 만큼만 곱한다.

E.g. 두 벡터의 방향이 같으면 --> 내적의 값 = 두 벡터 크기의 곱셈

       두 벡터가 이루는 각 = 90º --> 일치하는 정도가 없기에 --> 내적의 값 = 0

 

방향이 일치하지 않을때, 내적의 값을 구하기 위해

한 벡터를 다른 벡터로 정사영 시켜서, 그 벡터의 크기를 곱한다.

벡터의 내적의 결과값은 벡터가 아닌, 스칼라(상수)라는 점!

벡터의 정사영

 

내적의 기호는 가운데 점을 찍는 것(·)이며,

벡터의 크기를 절대값으로 표시하면, 내적의 값은 다음과 같다.

위의 식과 동일

 

정확히 말하자면, Inner Product이 Dot Product보다 더 큰 개념이지만, 

Dot Product을 내적으로 표현하기도 한다.

Dot Product = Scarlet Product ⊂ Inner Product

 

예시(1)

Dot Product 예시를 살펴보면,

a 와 b의 내적은 각각의 벡터 성분을 곱한 후, 더한 값으로 결과값이 나온다.

전치(transpose)를 수행해도 same.

 

예시(2)

자기자신을 내적하게 되면, cos(0) = 1이기 때문에

벡터 크기에 제곱한 게 결과값이 된다.

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3.단위벡터(Unit Vector)

다양한 방향과 크기를 가진 벡터 중 크기가 1인 벡터를 말한다.

크기가 1이 아닌 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 것을 "정규화(Normalize)"라고 칭한다.

벡터의 정규화

  

 

단위벡터의 필요성

크기, 방향을 한눈에 알아보기 쉽다.

벡터 B = (3 , 4)를 "단위벡터"를 활용해 나타내면, 크기(5)와 방향(3/5, 4/5)을 한눈에 알아볼 수 있다.

 

벡터와 단위벡터의 상관관계 (최대값, 최소값)

 

구체적으로...

1) 단위벡터(Unit Vector)가 [1,0] 일 때 = x축 방향

 

2) 단위벡터(Unit Vector)의 방향이 [4,3]와 같을 때 --> Dot product(내적값) = 최대값

3) 단위벡터(Unit Vector)가 [0,1] 일 때 = y축 방향

 

4) 단위벡터(Unit Vector)와 벡터(Vector) [4,3]의 각도 = 90º  --> Dot product(내적값) = 0

 

4) 단위벡터(Unit Vector)와 벡터(Vector) [4,3]의 각도 = 180º  --> Dot product(내적값) = 최소값

 

성분을 단위벡터로 나타내기

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4.사영벡터(Projection Vector)

정사영(Projection) = 평면과 수직인 빛을 쏘았을 때 생기는 그림자 모양

고로 '벡터의 사영 = 사영벡터'는 빨간색 벡터(크기와 방향을 가짐)다.

사영벡터 구하는 방법

아래 공식을 살펴보자.

 

사영벡터(Projection Vector)는 '크기'와 '방향'을 가진 벡터이므로,

예시 1)

벡터 a = [1,3] 를  벡터 b = [5,1]에 정사영(projection)한 사영벡터(projection Vector)값은?

예시 1) 을 기형학적으로 살펴보면...

 

우선, 사영벡터(Projection Vector)를 미지의 상수(scalar) x̂ 를 활용해 나타내고,

 

벡터 a 와 벡터 u 뺄셈을 구하면,

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※ 개인공부 목적으로 정리한 내용들입니다.

출처

https://wikidocs.net/22384

042. 내적 vs 외적

 

https://m.blog.naver.com/ryumochyee-logarithm/221542210272

벡터의 내적, 정사영으로 깊이 생각하기(개념편)

https://sunny-archive.tistory.com/91

내적 (inner product) & 정사영 (projection) 개념으로 Fourier Transform 해석하기

https://settembre.tistory.com/314

[선형대수] 벡터 Vector

https://m.blog.naver.com/seolgoons/221389075503

사영벡터(projection vector)는 뭘까?

 

https://www.youtube.com/watch?v=yJSogK2Bmug

https://youtu.be/47axVfuf-Q0?si=eQFRubklJiTPAdmm